Теория множеств

Книга посвящена нелокальным бифуркациям, происходящим на границе множества систем Морса-Смейла. Эти бифуркации, как факелы, освещают переход от простых динамических систем к сложным. При этом возникают: периодические орбиты; гиперболические и частично гиперболические инвариантные множества; странные аттракторы. Все результаты строго доказаны и изложены с единой точки зрения – взаимодействия теории нормальных форм и гиперболической теории. Обе теории, в необходимом объеме, изложены, начиная с основ. Описанные в книге геометрические эффекты сначала объясняются на эвристическом уровне, а затем уже на строго доказываются. Часть результатов является классической, часть – новой. Большинство из них еще не излагались в монографиях. Книга рассчитана на студентов и аспирантов математиков, а также на специалистов в чистой и прикладной математике, физике, инженерии и биологии.

Рассмотрены вопросы теории множеств, отношений, комбинаторики, математической логики и теории графов, которые образуют курс дискретной математики. Теоретические положения проиллюстрированы примерами, в том числе прикладного характера. Соответствует современным требованиям Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования и профессиональным квалификационным требованиям. Предназначено для изучения дисциплины «Дискретная математика» по укрупненным группам специальностей среднего профессионального образования «Информатика и вычислительная техника». Может быть использовано в дополнительном профессиональном образовании (в программах повышения квалификации и переподготовки), а также для профессиональной подготовки работников в различных областях при наличии среднего (полного) общего образования.

Рассмотрены вопросы теории множеств, отношений, комбинаторики, математической логики и теории графов, которые образуют курс дискретной математики. Теоретические положения проиллюстрированы примерами, в том числе прикладного характера. Предназначено преимущественно для студентов инженерных факультетов и вузов по укрупненным группам специальностей «Информатика и вычислительная техника», а также других специальностей, изучающих дискретную математику. Может быть полезно для магистров, аспирантов, преподавателей и специалистов, профиль интересов и работа которых связаны с вопросами дискретной математики.

В 70-х годах XIX века немецкий математик Г. Кантор создал новую область математики – теорию бесконечных множеств. Через несколько десятилетий почти вся математика была перестроена на теоретико-множественной основе. Понятия теории множеств отражают наиболее общие свойства математических объектов. Обычно теорию множеств излагают в учебниках для университетов. В настоящей книге в популярной форме описываются основные понятия и результаты теории множеств. Книга предназначена для широкого круга читателей, интересующихся математикой и желающих узнать, что такое теория множеств.

Основной целью настоящей работы является описание и изучение классов областей произвольной связности, на которые обобщается ряд классических результатов теории граничных свойств аналитических функций в единичном круге и конечно-связных областях. В различных типах областей произвольной связности изучаются такие вопросы граничных свойств, как описание модуля граничных значений для классов аналитических функций, свойства предельных множеств, обобщенный принцип максимума, граничное поведение экстремальных функций, двойственность классов Харди, а также некоторые другие вопросы, связанные с граничными свойствами аналитических функций.

В книге в форме задач систематически изложены основы теории множеств, математической логики и теории алгоритмов. Книга предназначена для активного изучения математической логики и смежных с ней наук. Состоит из трех частей: «Теория множеств», «Математическая логика» и «Теория алгоритмов». Задачи снабжены указаниями и ответами. Все необходимые определения сформулированы в кратких теоретических введениях к каждому параграфу. 3-е издание книги вышло в 1995 г. Сборник может быть использован как учебное пособие для математических факультетов университетов, педагогических институтов, а также в технических вузах при изучении кибернетики и информатики. Для математиков – алгебраистов, логиков и кибернетиков.

Работа включает разделы: операции теории множеств, математическую логику в составе булевой алгебры, исчисления высказываний и исчисления предикатов. При изложении материала использован конструктивный подход – наиболее современная и эффективная форма подачи материала. Каждый раздел сопровождается задачами, приводятся решения типовых задач. Работа окажется полезной при подготовке бакалавров по всем направлениям факультета прикладной математики и информатики.

Текст учебника разбивается на смысловые фрагменты вопросами, позволяющими проверить, как понято прочитанное. В системе упражнений есть группа заданий на повторение пройденного ранее. Задания ориентированы на отработку таких видов деятельности, как анализ информации, наблюдение и эксперимент, конструирование алгоритмов, поиск закономерностей, исследование и т. д. Всё это позволяет учащимся активно и осознанно овладевать универсальными учебными действиями. Каждая глава завершается рубрикой «Чему вы научились», помогающей ученику проверить себя на базовом уровне и оценить возможность выполнения более сложных заданий.

Основной целью настоящей работы является описание и изучение классов областей произвольной связности, на которые обобщается ряд классических результатов теории граничных свойств аналитических функций в единичном круге и конечно-связных областях. В различных типах областей произвольной связности изучаются такие вопросы граничных свойств, как описание модуля граничных значений для классов аналитических функций, свойства предельных множеств, обобщенный принцип максимума, граничное поведение экстремальных функций, двойственность классов Харди, а также некоторые другие вопросы, связанные с граничными свойствами аналитических функций.

В представленном пособии в доступной форме рассказывается о фундаментальных понятиях дискретной математики – логике, булевых функциях, множествах, отношениях и графах. Теория изложена кратко, но иллюстрирована многочисленными простыми для понимания примерами. Изложение курса дискретной математики представлено в форме решения математических задач различной сложности, связанных с программированием. Предложены алгоритмы решения этих задач, написанные на «псевдокоде». Пособие может быть использовано при изучении дисциплин «Дискретная математика», «Информатика», «Линейная алгебра и дискретная математика», «Логика» студентами института легкой промышленности моды и дизайна (направление подготовки «Информационные системы и технологии»), инженерного химико-технологического института (направление подготовки «Информационная безопасность»), института управления, автоматизации и информационных технологий (направление подготовки «Информатика и вычислительная техника»).

В основе этого продвинутого учебника по математическому анализу – курс, который читался автором на факультете математики Высшей школы экономики. Представленный в книге материал имеет ряд отличий от традиционных курсов. Так, ряды вводятся сразу же после определения предела последовательности; в книгу входит экскурс в элементарную теорию множеств (включая лемму Цорна и ее применения) и в общую топологию (включая канторово множество и –адические числа). Заметное место в учебнике уделено анализу на многообразиях, включая дифференциальные формы, теорему Стокса и теорему Фробениуса. Учебник будет полезен студентам младших курсов математических специальностей, преподавателям математики, а также всем интересующимся этой наукой.

В учебном пособии рассмотрены такие основные разделы теории нечетких множеств, как нечеткие отношения, нечеткие числа, нечеткий логический вывод, а также прикладные разделы, связанные с применением нечеткой математики в анализе данных (нечеткая регрессия, нечеткая кластеризация, нечеткая классификация) и принятии решений (нечеткая оптимизация, многокритериальные методы принятия решений с нечеткими данными, ранжирование нечетких данных, нечеткое моделирование). Каждая глава заканчивается разделом задач для самостоятельного решения. Поэтому данное пособие можно использовать не только как учебник, но и как задачник на семинарских занятиях или для самостоятельной подготовки. Учебное пособие адресовано студентам, обучающимся по образовательным программам, связанным с анализом данных и принятием решений («Прикладная математика и информатика», «Экономика», «Экономика и статистика», «Бизнес-информатика» и др.). Книга также будет полезна аспирантам и преподавателям образовательных программ, как непосредственно связанных с анализом данных, так и использующих анализ данных и принятие решений в своих исследованиях, – бизнес-информатикам, экономистам, финансовым аналитикам, политологам и т.д.

Данная работа посвящена интегральным представлениям голоморфных функций в ограниченных линейно выпуклых областях с кусочно-регулярными границами и их приложениями. Предназначена для специалистов по многомерному комплексному анализу, а также для студентов и аспирантов, изучающих этот предмет. Материал подобран согласно научным интересам автора.

Текст учебника разбивается на смысловые фрагменты вопросами, позволяющими проверить, как понято прочитанное. В системе упражнений есть группа заданий на повторение пройденного ранее. Задания ориентированы на отработку таких видов деятельности, как анализ информации, наблюдение и эксперимент, конструирование алгоритмов, поиск закономерностей, исследование и т. д. Всё это позволяет учащимся активно и осознанно овладевать универсальными учебными действиями. Каждая глава завершается рубрикой «Чему вы научились», помогающей ученику проверить себя на базовом уровне и оценить возможность выполнения более сложных заданий.

Пособие представляет собой конспект курса лекций, разработанного и читаемого авторами в Томском государственном университете студентам, обучающимся по специальности «Компьютерная безопасность».